Kispesten született, és egész pályafutása során csak az ottani csapatban játszott. Munkáscsalád gyermeke volt, legendák és igaz történetek százai keringenek arról, ahogy Puskással, Deák „Bambával” és más gyerekekkel együtt naphosszat a grundon fociztak. Az ún. városi házakból, ahol éltek – a ma már Bozsik nevét viselő stadion helyén – rá lehetett látni a Kispesti AC pályájára, nem csoda, hogy 11 évesen leigazolta a klub.

Fiatalon bemutatkozhatott a felnőtt csapatban, de első mérkőzése nem sikerült túl jól, így egy időre ismét a tartalékba került. Később aztán megkérdőjelezhetetlenné vált a szerepeltetése a jobbfedezet posztján. Mindkét lábbal remekül bánt a labdával, kiemelkedő volt a taktikai képzettsége, és rendkívül fantáziadúsan játszott. Lassú játékosnak számított, de jól helyezkedett, és lendületesen játszott.

Első magyar bajnoki címét az 1949-50-es szezonban szerezte, amihez ’50 őszén rögtön egy újabb társult. Pályafutása során a Honvéddá alakult Kispest még 1952-ben, 1954-ben és 1955-ben végzett a tabella élén, azaz ötszörös bajnokként vonulhatott vissza.

A válogatottban 1947-ben lépett először pályára, első mérkőzésén Deák és Hidegkuti vezetésével 9-0-ra vertük Bulgáriát, és Bozsik bennragadt a csapatban – úgy 15 évre. Sebes Gusztáv idején már az egyik alappillérnek számított, aki köré a kapitány megkereste a megfelelő embereket.

Ez az 1952-es nyári olimpia idejére – amit Sebes már mindenképp meg akart nyerni – sikerült is. A Románia elleni selejtezőn még Kovács Imre játszott mellette, a mérkőzést kissé ideges játékkal 2-1-re nyertük. Ezután lett állandó párja a középpályán Zakariás, aki labdaszerzéseivel remekül kiegészítette Bozsik támadó szellemiségét. Ezzel kezdett kialakulni a 4-2-4-es felállás, hiszen „Zaki” szinte védőként játszott, elölről pedig a középcsatár, ekkor még Palotás Péter húzódott vissza „Cucu” mellé. Az Olaszország elleni nyolcaddöntőt így már magabiztosan játszva, 3-0-ás győzelemmel tudtuk le. Még fölényesebbre sikerült a negyeddöntő a törökök ellen, akik ugyan nagy reményekkel érkeztek, a mieink viszont 7-1-gyel küldték haza őket. A gólözönből Bozsik is részt vállalt egy találattal. A döntőbe jutásért Svédországgal találkoztunk, akiket szintén fölényesen, 6-0-ra győztünk le. A fináléban Jugoszlávia következett, és a selejtezőhöz hasonlóan itt is idegesen léptünk pályára, valószínűleg a nagy tét miatt. A második félidőben ettől függetlenül kijött az Aranycsapat nagyobb játéktudása, és 2-0-s győzelemmel szereztük meg az olimpiai bajnoki címet.

Az 1953-as londoni 6-3 során az egész válogatott nagyszerű teljesítményt nyújtott, mégis ki lehet belőle emelni egy-két alakítást. Szepesi György például azt mondta rádióközvetítésében, hogy másnap csupa nagybetűvel kell írni BOZSIK nevét, hiszen tökéletesen játszik. Rögtön az első percben az ő indításából szerzett gólt Hidegkuti, és a második félidőben ő maga is betalált.

1954-ben a svájci világbajnokságon is minden találkozón szerepet kapott. Itt először 9-0-ra győztük le Dél-Koreát, majd 8-3-ra az NSZK-t. Mivel utóbbi találkozón Puskás megsérült, Bozsik lett a csapatkapitány. A brazilok elleni 4-2-re megnyert negyeddöntőben nehezen viselte az ellenfél durvaságát, így a 65. percben Santos-szal együtt kiállították. Mivel ez akkoriban még nem járt eltiltással, Uruguay ellen is játszhatott. Itt is 4-2-es győzelmet értünk el, de ezt már csak hosszabbításban sikerült kiharcolnunk. Talán ennek is köszönhető, hogy az NSZK elleni újabb mérkőzésen – ezúttal már a döntőben – 3-2-es vereséget szenvedtünk, amivel az ezüstérmet szereztük meg.

Időközben, propagandacélok miatt képviselőként beválasztották az Országgyűlésbe, ahol azonban nem töltött be komoly szerepet. Képviselői címétől és katonai rendfokozataitól az 1956-os események után fosztották meg. A forradalom miatt a Honvéd Bilbao elleni BEK-mérkőzését nem lehetett Budapesten lejátszani, így a spanyolországi első találkozó után Brüsszelben került sor a visszavágóra. Az összesített eredmény 6-5 lett, így a baszk csapat jutott tovább. A Honvéd viszont a bizonytalan helyzetben nem tért haza Magyarországra, hanem dél-európai majd dél-amerikai túrára indult. Puskás, Kocsis és Czibor végül külföldön is telepedtek le, de „Cucu” visszajött a portya végeztével. Mivel azonban engedély nélkül járták be a világot, 1957 tavaszán többekkel együtt féléves eltiltást kapott, és a már említett címeket is elvették tőle. Ezt aztán néhány hét múlva felfüggesztették, így júniusban már a válogatottban is pályára léphetett.

1958-ban pedig ott volt a svédországi világbajnokságon is, a tudósítások szerint a csapat legjobbjai közé tartozott, de a csoportból való továbbjutás vele sem sikerült. A nemzeti csapatban még évekig játszott, 1962 áprilisában búcsúzott Uruguay ellen, kerek 100-szoros válogatottként. Később, jóval halála után az MLSZ hivatalosnak minősített egy 1956-os Libanon elleni mérkőzést, így a mai statisztikák szerint 101-szer szerepelt címeres mezben.

Szintén 1962-ben játszott utoljára a Honvédban, amelynek 1966-ban vezetőedzője lett. A játékosok hozzáállásával azonban elégedetlen volt, így nem tudott jó kapcsolatot kialakítani a kerettel, egy év múlva felállt a padról. 1974-ben egyetlen mérkőzésen a válogatott kispadjára is leült, a szövetségi kapitányi posztot azonban romló egészségi állapota miatt nem tudta hosszútávon vállalni. 1978. május 31-én, Budapesten hunyt el szívelégtelenség miatt.
1986-ban a Honvéd stadionját róla nevezték el, majd 1996-ban posztumusz honvédezredessé léptették elő.